頭の体操 問題6

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頭の体操 問題6

今年の中学入試問題の一問です。立体は簡単にイメージできると思いますので、難易度は中~下といったところでしょうか。問題5の解答は問題5のページに追記しました。なるべく1週間後ぐらいには解答をアップできるようにします!


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頭の体操 問題5

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頭の体操 問題5

これも中学入試問題ですが、京都の公立高校の入試問題に出してもかなり苦戦する人が多いような気がします?!

今日も午後から不安定な天気となり雨が降ったり止んだりの天気になりました。雨は降ったものの、気温は下がらず今日も熱帯夜です。

解答アップするのを忘れていましたので、新たにアップするのも時間が経ちすぎているので、追記しておきます。EGとFHの交点をLとしておきます。

頭の体操問題5解答図1

四角錐E-AIJKをAEGC平面で2つの三角錐に分割して考えます。2つの三角錐は同じ体積であるのは直ぐに分かりますので、片方の体積が求めればOKです。
ここでは三角錐AIEJを考えます。三角錐AIEJは三角形AIEを底面として考え、Jから平面ABFEに降ろした垂線の長さが高さになります。

頭の体操問題5解答図2

平面AEGCで見ると、図2にようになります。ACやEGの長さは分からなくてもAC:EL=2:1ですので、MJ:NJも2:1になりNJは2cmだと分かります。

頭の体操問題5解答図3

次にBFGC面からJを見てみると、図3のようになり、JからABFE面の垂線の距離は2cmとなります。よって三角錐AIEJの体積は三角形AIEの面積かける高さ2cmの1/3となります。

三角錐AIEJ 6×6×1/4×2×1/3=6 よって四角錐E-AIJK=6×2=12となります。

2015.2.08追記

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頭の体操 問題4 解答

解答です。問題5を作っていたら、4の解答をアップしていない事に気づきアップしました。画像はクリックすると大きくなります。

頭の体操 問題4解答

まず2つの合同な三角形のそれぞれの頂点と対応する角に図-1のように記号を付けます。

この問題ではABの長さを求めていますので、ABに相当する長さが分かっている三角形を探します。
すると三角形CFGが見つかります。ですので辺ABを一辺とする直角三角形を作れば相似を使って解けそうです。
ですからADを延長し、EFとの交点をPとした直角三角形APBを考えます。

問題を解いていきます。
∠ADCと∠EDPは対頂角で等しく、∠CEFと∠DEPは共通で等しい。
よって三角形EDPと三角形ECFは3角が等しく相似になり、APとCFは平行になります。
三角形EDPと三角形ECFの相似比は1:4ですのでDPは3/4となります。
相似比を記入する場合は、実際の長さと区別するために、私は丸数字で記入するよう教えています。
また三角形CFGと三角形APBはともに直角三角形でAPとCF平行なので相似になります。
∠APB=∠CFGからも相似であると言えます。
相似比はAP:CF=19/4(4+3/4):3となります。
よってAP:CF=AB:CG 19/4:3=AB:2
3AB=19/2
AB=19/6となります。

この問題は中学入試問題です。制限時間60分で13問の1問ですので平均1問4分強の問題です。
レベルはそれほど難しくありませんので、中学生なら2分以内がマストです!

おまけ
今回の問題はこれまでで最も簡単だったのでおまけを付けました。

頭の体操問題4おまけ

これまでの4問とこのおまけはすべて同じ中学の入試問題(年度は違いますが)です。関西ではこの中学の入試があると翌日の新聞に問題が掲載されますので、2012年以降は取ってあります。この中学に合格する生徒は噂ではこれぐらいの問題は暗算で出来る子が多いそうですので、問題には暗算で解いてくださいと書いています。私は小学6年生の時に珠算一級、暗算初段でしたので、答えが7桁以下ならすべて暗算でやっていました。その時の感覚からすると、これが簡略化せず普通に暗算で出来る計算力は、珠算一級クラスと思います?!まあ今はこれをそのまま暗算することは面倒でしません(出来ません??)が、ただちょっとした考え方で、今の私でも簡単に暗算で出来るレベルに変形することができます。ただしこれを普通に解く場合でも、□=といった形に式を直しません。また=1/□のまま右辺に残したままで計算します。□を左辺に持って行ったり、逆数にして□=とするとそれだけ余分な式を書き時間がかかりますし、何より書き間違えの可能性が高くなります。

(1/11-1/183)÷43=(1/□-1/671)÷167

今の私なら167/43≒3.89=4として考え、左辺の括弧内は暗算でも計算できますので、
172/2013×4=172/503=(1/□-1/671) 
1/2.9≒1/□-1/671
ただし2013/4は503としていますが、本来は2013/3.89なので503より大きくなることは分かっています。ですから172/503も2.9より大きくなるはずだということを考えながら計算しています。1/671は0.001ほどなので無視し、また解答に小数点は入らないと予測して□=3と出します。

もう少し荒っぽく考えると
左辺の1/183は1/11より1桁小さいので無視します。また1/□は分かりませんが、右辺の1/671も無視します。
そして両辺に167をかけると
1/11×167/43=1/□となり、これならばもっと簡単に暗算でも求められます。
□=2.8≒3となります。
□が3であれば1/671は無視しても特に問題ないことも分かります。
解答に小数点がは入らないと予測して□=3と出します。

上述しましたが、無視したり簡略化したりするにしても、ちゃんと今計算しているのが本来の答えより大きいのか小さいのかをちゃんと予測しながら計算するのが、大事ですよ!

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頭の体操 問題4

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頭の体操 問題4

中学入試問題です。

頭の体操問題4おまけ

今回はこれまでで最も簡単な問題なので、おまけを載っけておきます。おまけも中学入試問題です。これぐらいは書かずに暗算でやってくださいね!

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頭の体操 問題3 解答

解答です。問題4を作っていたら、3の解答をアップしていない事に気づきアップしました。画像はクリックすると大きくなります。

頭の体操 問題3

この問題で求めるのは斜線部を回転させたときの体積ですが、本質は大小2つの直角二等辺三角形を回転させたときの体積を求める事です。ですから大と小を以下のようにしてそれぞれ求める事にします。

頭の体操 問題3 解答

図のように交点に記号を付けます。
大の直角二等辺三角形FGHを求めます。
赤線で囲んだ台形AEFGを回転させて出来る円錐台の体積は三角形AJGを回転させて出来る円錐から三角形EJFを回転させて出来る円錐を引いた物です。
同様に台形AEFHを回転させて出来る円錐台の体積は三角形IEFを回転させて出来る円錐から三角形IAHを回転させて出来る円錐を引いた物です。

そこでまず円錐台の体積を求める式を作っておきます。
下の図のように相似比がa:bの場合、円錐台の体積は以下のようになります。

頭の体操 問題3 解答

ですから上の図に戻ってこの式のa、bに相当する数字を入れていけば求められます。

V(FGH)=兀×{7×7×7-4×4×4-(4×4×4-1×1×1)}÷3=兀×216÷3=72兀

頭の体操 問題3 解答

次に小の直角二等辺三角形LCMを求めます。
こちらは四角形BCMKから台形BLMKを引いた物です。

V(LCM)=兀×8×8×3-兀×(8×8×8-5×5×5)÷3=兀×(192-129)=63兀

よって
V=兀×8×8×4-兀×(72+63)=121兀
となります。

この問題のポイントは円錐台の体積の求め方になるでしょうか!

簡単にパップス・ギュルダンの定理を説明しておきます。

回転させる図形の面積をS 回転軸と図形の重心との距離をrとすると
体積は以下の式で表せます。

V=2兀r×S

つまり重心が移動した距離と面積の積になるのです。

パップス・ギュルダンの定理で小の直角二等辺三角形LCMが回転したときの体積を求めてみます。
面積は3×3÷2=9/2
重心は(5+8+8)÷3=7
よって
V(LCM)=2兀×7×9/2=63兀となります。この定理を使うと計算が一気に楽になり、この問題でも一分以内の解答が可能です。ただし重心を求めるのが難しい図形には適しません。


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頭の体操 問題3

頭の体操 問題3です。画像はクリックすると大きくなります。

頭の体操 問題3

中学の入試問題です。私は昔から回転体の体積はパップス・ギュルダンの定理を使って解いていたので、この問題なら1分以内に解けますが、それでは頭が柔らかくなりません。いつもと違う考え方、つまり算数の考え方で解くことによって頭が柔らかくなるのです!解答はいつものように一週間後ぐらいです。


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頭の体操 問題2 解答

解答です。

頭の体操 問題2の解答

数年前までは相似や合同は中学からでしたが、現在は小学校で習います。ただし相似条件や合同条件、相似比、面積比などの言葉は出て来ませんが、考え方は教わります。またやはり言葉は出て来ませんが、対頂角、同位角、錯角が等しい事なども習います。

説明し易いように図のように記号を付けます

正方形EFGHは正方形ABCDから4隅の直角三角形4ヶを除いた図形です。

12×12-4×(4×8÷2)=80

塗られた八角形は、正方形EFGHから4隅の三角形4ヶを除いた図形です。

また図の対称性から4隅の三角形は合同なのでどれか一つの面積が分かればOKです。
ここでは三角形FMNを求めることにします。

三角形FMNは三角形CJKから三角形FMJ、三角形CFN、三角形CNKを引いたものです。

三角形CFNは底辺が4、高さ1であることは直ぐに分かります。よって1×4÷2=2
図の対称性から三角形CFNと三角形CNKは線対称な図形で、面積は同じです。
ですからどちらか一方の面積、つまり高さ分かればOKです。

点Nから辺BCおよび辺CDに垂線を降ろしその交点をPとQとします。
三角形CGFと三角形PNFは相似になります。また三角形CJKと三角形QNKも相似になります。

そこでFPをaとするとFP:NPは1:2ですのでNPは2aとなります。またFCは4ですのでPCは4-aです。またNP=QCですのでQCは2a、CKは4ですのでQKは4-2aとなります。KQ:QNは1:2ですので、NQは8-4aとなります。

これより4-a=8-4aとなり 3a=4 a=4/3 NP=8/3となります。

三角形CFN=三角形CNK=4×8/3÷2=16/3

三角形FMN=4×8÷2-(2+2×16/3)=10/3

塗られた八角形の面積は 80-4×10/3=200/3

一次関数で解く場合は点Fを原点とし、直線FGと直線JKを考えその交点Nの座標を求めます。

FGはy=2x
JGはy=1/2(x+4)になります。よって2x=1/2(x+4)これを展開して3x=4 x=4/3となりy=8/3が求められます。

強引な考え方ですが、以下の問題と考えれば小学生の問題になります。

AくんはX地点からY地点に向かって、時速2Kmの速さで歩きます。BくんはX地点から2Kmだけ離れた場所からY地点に時速1/2Kmの速さで歩きます。二人が同時に出発したとき、AくんはBくんに何時間後に追いつき、その時AくんはX地点からどれだけ離れていますか、答えなさい。

まずAくんとBくんは時速2Kmと時速1/2Kmなので時間当たり、2-1/2=3/2Kmずつ距離が縮まります。もともと2Km離れているので、離れている距離2Kmを3/2で割ると、追いつく時間が分かります。つまり4/3時間です。
Aくんは時速2Kmなので、2×4/3=8/3Kmとなります。

この問題も制限時間50分で13問の中の1問です。レベル的には簡単な問題ですので、やはり2分以内の解答が求められます!

芍薬の開花が始まりました!


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頭の体操 問題2

頭の体操 第2問です。画像はクリックすると大きくなります。

頭の体操 問題2

前回の問題よりは考えやすいと思います。この問題も中学入試問題ですので、小学生の算数で解ける問題です。一次関数を習った中学生なら関数を使って解けばあっという間です。でもそれでは頭が柔らかくなりませんので、算数の範囲で考えましょう!解答は一週間後当たりにします。

雨がけっこう強く降ってきましたので、園芸作業は何もできません。ですので久しぶりに頭の体操問題を作ってみました!


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頭の体操 問題1 解答

解答です。

頭の体操 問題1

図1の中にも書いていますが、展開図から組み立てる場合あまり面の移動距離が長いと考え難くなります。ですから普通は右の小さな正方形を底面として考えるほうが良いのですが、この問題はわざと分かり難くなるように書かれています。ですので今回は左の大きな正方形を底面として考えながら組み立てていきます。

kaitou01_01.jpg

そして問題文と図から長さなどの分かる場所に寸法を入れます。またどの頂点と頂点が一致するかなどを書き込んでいくとさらに分かりやすくなります。この問題では小さな正方形EFGHの対角線の長さが6cmになるのがポンイトです。

kaitou01_02.jpg

そして図2のように残り3ヶの直角二等辺三角形を正方形ABCDに付けるとさらに分かりやすくなると思います。ここまでくれば組み立てられる立体は図3のようになるのが、分かると思います。もしこれでも分かり難いのでしたら、図1か図2をクリックして大きな画像を出し、それをプリントして実際に組み立ててください!

kaitou01_03.jpg

出来上がった立体は、直方体の4つの角が削られた形になります。高さは図4のように直角二等辺三角形の高さEMになります。何故そうなるかというと天面の正方形EFGHの対角線が6cmで正方形ABCDの一辺に一致するので、直角二等辺三角形は底面ABCDに垂直でなければならないからです。

kaitou01_04.jpg

直角二等辺三角形の高さですが、小学校では三角定規の使い方や特徴で出て来ます。図4に書いたようにEMで2つに折り重ねると新たに直角二等辺三角形ができ、CM=EMとなりEMは3cmとなります。この事から図3の削り取られた三角錐の底面AGHやBFGなどはすべて一辺3cmの2等辺三角形で、高さは3cmです。三角錐の体積を求める公式は小学校では習いませんので、問題に記載されていますので、それを使って体積を求めます。
よって
正方形ABCDを底面とする四角柱の体積は 6×6×3=108
4隅の三角錐4ヶの体積は 3×3÷2×3÷3×4=18
立体の体積は 108-18=90 となります。

この問題は制限時間50分の入試問題の13問中の1問です。ですから平均3分半ぐらいでは解かないといけませんが、レベル的には平均より易しい問題ですので、2分以内がマストといったところでしょうか?!

小学生に教えるつもりでかなり丁寧に解説しましたが、次回からはもう少し簡単にします!


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頭の体操 問題1

固くなった頭を柔らかく戻すために、1年ほど前から面白そうな図形の問題を見つけては解いています。

頭の体操 問題1

そのせいかどうかは分かりませんが、少しは頭が柔らかくなってきたと自分では思っています。と言うことで月に一回ぐらいのペースでアップしていこうと思います。皆さんも固くなった頭を柔らかくしませんか!ちなみにこの問題は中学入試問題です。この展開図から立体がイメージできるかどうかがポイントです!!回答は一週間後ぐらいにアップします。

今日は朝からずっと雨です。気温も低く寒いですねぇ!


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サボテン、リトープスなどのメセン、アロエや草花などいろんな植物を栽培中です!培養液栽培などもおこなっています!!

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