頭の体操 問題3 解答
解答です。問題4を作っていたら、3の解答をアップしていない事に気づきアップしました。画像はクリックすると大きくなります。
この問題で求めるのは斜線部を回転させたときの体積ですが、本質は大小2つの直角二等辺三角形を回転させたときの体積を求める事です。ですから大と小を以下のようにしてそれぞれ求める事にします。
図のように交点に記号を付けます。
大の直角二等辺三角形FGHを求めます。
赤線で囲んだ台形AEFGを回転させて出来る円錐台の体積は三角形AJGを回転させて出来る円錐から三角形EJFを回転させて出来る円錐を引いた物です。
同様に台形AEFHを回転させて出来る円錐台の体積は三角形IEFを回転させて出来る円錐から三角形IAHを回転させて出来る円錐を引いた物です。
そこでまず円錐台の体積を求める式を作っておきます。
下の図のように相似比がa：bの場合、円錐台の体積は以下のようになります。
ですから上の図に戻ってこの式のa、bに相当する数字を入れていけば求められます。
V(FGH)＝兀×{7×7×7－4×4×4-(4×4×4-1×1×1)}÷3=兀×216÷3=72兀
次に小の直角二等辺三角形LCMを求めます。
こちらは四角形BCMKから台形BLMKを引いた物です。
V(LCM)=兀×8×8×3-兀×(8×8×8－5×5×5)÷3=兀×(192-129)=63兀
よって
V=兀×8×8×4-兀×(72+63)=121兀
となります。
この問題のポイントは円錐台の体積の求め方になるでしょうか！
簡単にパップス・ギュルダンの定理を説明しておきます。
回転させる図形の面積をS 回転軸と図形の重心との距離をｒとすると
体積は以下の式で表せます。
V＝２兀ｒ×S
つまり重心が移動した距離と面積の積になるのです。
パップス・ギュルダンの定理で小の直角二等辺三角形LCMが回転したときの体積を求めてみます。
面積は3×3÷2=9/2
重心は(5+8+8)÷3=7
よって
V(LCM)=2兀×7×9/2=63兀となります。この定理を使うと計算が一気に楽になり、この問題でも一分以内の解答が可能です。ただし重心を求めるのが難しい図形には適しません。
今日のこよみ
日の出 04:42
日の入 19:10
月の出 16:02
月の入 02:15
正午月齢 12.3
この問題で求めるのは斜線部を回転させたときの体積ですが、本質は大小2つの直角二等辺三角形を回転させたときの体積を求める事です。ですから大と小を以下のようにしてそれぞれ求める事にします。
図のように交点に記号を付けます。
大の直角二等辺三角形FGHを求めます。
赤線で囲んだ台形AEFGを回転させて出来る円錐台の体積は三角形AJGを回転させて出来る円錐から三角形EJFを回転させて出来る円錐を引いた物です。
同様に台形AEFHを回転させて出来る円錐台の体積は三角形IEFを回転させて出来る円錐から三角形IAHを回転させて出来る円錐を引いた物です。
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下の図のように相似比がa：bの場合、円錐台の体積は以下のようになります。
ですから上の図に戻ってこの式のa、bに相当する数字を入れていけば求められます。
V(FGH)＝兀×{7×7×7－4×4×4-(4×4×4-1×1×1)}÷3=兀×216÷3=72兀
次に小の直角二等辺三角形LCMを求めます。
こちらは四角形BCMKから台形BLMKを引いた物です。
V(LCM)=兀×8×8×3-兀×(8×8×8－5×5×5)÷3=兀×(192-129)=63兀
よって
V=兀×8×8×4-兀×(72+63)=121兀
となります。
この問題のポイントは円錐台の体積の求め方になるでしょうか！
簡単にパップス・ギュルダンの定理を説明しておきます。
回転させる図形の面積をS 回転軸と図形の重心との距離をｒとすると
体積は以下の式で表せます。
V＝２兀ｒ×S
つまり重心が移動した距離と面積の積になるのです。
パップス・ギュルダンの定理で小の直角二等辺三角形LCMが回転したときの体積を求めてみます。
面積は3×3÷2=9/2
重心は(5+8+8)÷3=7
よって
V(LCM)=2兀×7×9/2=63兀となります。この定理を使うと計算が一気に楽になり、この問題でも一分以内の解答が可能です。ただし重心を求めるのが難しい図形には適しません。
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3輪同時開花の翠晃冠
海王丸、緋花玉、麗蛇丸に続きやっと開花が始まったギムノカリキウム属 翠晃冠（スイコウカン Gymnocalycium anisitsii）くんです。画像はクリックすると大きくなります。
今日もほとんど曇りでしたが、高い気温でかなり全開に近い開き方です。今年の開花は3輪同時開花で始まりました。翠晃冠は我が家のギムノの中では開花総数が多いほうなので、これからが楽しみです。花芽はまだ6、7ヶ確認出来ますし、以降も次々に上がってくると思いますので、水切れとかで花芽を落とさせなければ、8月半ば頃までは楽しめます。
以降の翠晃冠の管理、育て方ですが、現在は50%の遮光下に置いていますが、梅雨明け以降はは65%の遮光下に置いて管理します。またなるべく長い日照時間を与えるようにします。ギムノカリキウム属は割と肥料食いのものが多く、翠晃冠、緋花玉、麗蛇丸なども晩秋まではしっかり肥料を与えます。特に今の時期からはカリ肥料を多く与え、水は雨水か水道水の場合は必ずPh5.5ぐらいに調整した酸性水を与えます。晩秋まで健康的に生長させた株は、耐寒性も高く、たまにマイナス5度程度になる環境であれば変色もほとんどなく、また1ヶ月ぐらいの断水ではほとんど縮みもしませんでの、たいへん安心感があります！
夕方から雨が降ってきました。京都は梅雨入りしてからほとんど雨が降っていないので、恵みの雨になってくれそうです。お昼休みに海王丸を植え替えました。
今日のこよみ
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今日もほとんど曇りでしたが、高い気温でかなり全開に近い開き方です。今年の開花は3輪同時開花で始まりました。翠晃冠は我が家のギムノの中では開花総数が多いほうなので、これからが楽しみです。花芽はまだ6、7ヶ確認出来ますし、以降も次々に上がってくると思いますので、水切れとかで花芽を落とさせなければ、8月半ば頃までは楽しめます。
以降の翠晃冠の管理、育て方ですが、現在は50%の遮光下に置いていますが、梅雨明け以降はは65%の遮光下に置いて管理します。またなるべく長い日照時間を与えるようにします。ギムノカリキウム属は割と肥料食いのものが多く、翠晃冠、緋花玉、麗蛇丸なども晩秋まではしっかり肥料を与えます。特に今の時期からはカリ肥料を多く与え、水は雨水か水道水の場合は必ずPh5.5ぐらいに調整した酸性水を与えます。晩秋まで健康的に生長させた株は、耐寒性も高く、たまにマイナス5度程度になる環境であれば変色もほとんどなく、また1ヶ月ぐらいの断水ではほとんど縮みもしませんでの、たいへん安心感があります！
夕方から雨が降ってきました。京都は梅雨入りしてからほとんど雨が降っていないので、恵みの雨になってくれそうです。お昼休みに海王丸を植え替えました。
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