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頭の体操 問題1 解答

解答です。

頭の体操 問題1

図1の中にも書いていますが、展開図から組み立てる場合あまり面の移動距離が長いと考え難くなります。ですから普通は右の小さな正方形を底面として考えるほうが良いのですが、この問題はわざと分かり難くなるように書かれています。ですので今回は左の大きな正方形を底面として考えながら組み立てていきます。

kaitou01_01.jpg

そして問題文と図から長さなどの分かる場所に寸法を入れます。またどの頂点と頂点が一致するかなどを書き込んでいくとさらに分かりやすくなります。この問題では小さな正方形EFGHの対角線の長さが6cmになるのがポンイトです。

kaitou01_02.jpg

そして図2のように残り3ヶの直角二等辺三角形を正方形ABCDに付けるとさらに分かりやすくなると思います。ここまでくれば組み立てられる立体は図3のようになるのが、分かると思います。もしこれでも分かり難いのでしたら、図1か図2をクリックして大きな画像を出し、それをプリントして実際に組み立ててください!

kaitou01_03.jpg

出来上がった立体は、直方体の4つの角が削られた形になります。高さは図4のように直角二等辺三角形の高さEMになります。何故そうなるかというと天面の正方形EFGHの対角線が6cmで正方形ABCDの一辺に一致するので、直角二等辺三角形は底面ABCDに垂直でなければならないからです。

kaitou01_04.jpg

直角二等辺三角形の高さですが、小学校では三角定規の使い方や特徴で出て来ます。図4に書いたようにEMで2つに折り重ねると新たに直角二等辺三角形ができ、CM=EMとなりEMは3cmとなります。この事から図3の削り取られた三角錐の底面AGHやBFGなどはすべて一辺3cmの2等辺三角形で、高さは3cmです。三角錐の体積を求める公式は小学校では習いませんので、問題に記載されていますので、それを使って体積を求めます。
よって
正方形ABCDを底面とする四角柱の体積は 6×6×3=108
4隅の三角錐4ヶの体積は 3×3÷2×3÷3×4=18
立体の体積は 108-18=90 となります。

この問題は制限時間50分の入試問題の13問中の1問です。ですから平均3分半ぐらいでは解かないといけませんが、レベル的には平均より易しい問題ですので、2分以内がマストといったところでしょうか?!

小学生に教えるつもりでかなり丁寧に解説しましたが、次回からはもう少し簡単にします!


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