頭の体操 問題3 解答
解答です。問題4を作っていたら、3の解答をアップしていない事に気づきアップしました。画像はクリックすると大きくなります。
この問題で求めるのは斜線部を回転させたときの体積ですが、本質は大小2つの直角二等辺三角形を回転させたときの体積を求める事です。ですから大と小を以下のようにしてそれぞれ求める事にします。
図のように交点に記号を付けます。
大の直角二等辺三角形FGHを求めます。
赤線で囲んだ台形AEFGを回転させて出来る円錐台の体積は三角形AJGを回転させて出来る円錐から三角形EJFを回転させて出来る円錐を引いた物です。
同様に台形AEFHを回転させて出来る円錐台の体積は三角形IEFを回転させて出来る円錐から三角形IAHを回転させて出来る円錐を引いた物です。
そこでまず円錐台の体積を求める式を作っておきます。
下の図のように相似比がa：bの場合、円錐台の体積は以下のようになります。
ですから上の図に戻ってこの式のa、bに相当する数字を入れていけば求められます。
V(FGH)＝兀×{7×7×7－4×4×4-(4×4×4-1×1×1)}÷3=兀×216÷3=72兀
次に小の直角二等辺三角形LCMを求めます。
こちらは四角形BCMKから台形BLMKを引いた物です。
V(LCM)=兀×8×8×3-兀×(8×8×8－5×5×5)÷3=兀×(192-129)=63兀
よって
V=兀×8×8×4-兀×(72+63)=121兀
となります。
この問題のポイントは円錐台の体積の求め方になるでしょうか！
簡単にパップス・ギュルダンの定理を説明しておきます。
回転させる図形の面積をS 回転軸と図形の重心との距離をｒとすると
体積は以下の式で表せます。
V＝２兀ｒ×S
つまり重心が移動した距離と面積の積になるのです。
パップス・ギュルダンの定理で小の直角二等辺三角形LCMが回転したときの体積を求めてみます。
面積は3×3÷2=9/2
重心は(5+8+8)÷3=7
よって
V(LCM)=2兀×7×9/2=63兀となります。この定理を使うと計算が一気に楽になり、この問題でも一分以内の解答が可能です。ただし重心を求めるのが難しい図形には適しません。
今日のこよみ
日の出 04:42
日の入 19:10
月の出 16:02
月の入 02:15
正午月齢 12.3
この問題で求めるのは斜線部を回転させたときの体積ですが、本質は大小2つの直角二等辺三角形を回転させたときの体積を求める事です。ですから大と小を以下のようにしてそれぞれ求める事にします。
図のように交点に記号を付けます。
大の直角二等辺三角形FGHを求めます。
赤線で囲んだ台形AEFGを回転させて出来る円錐台の体積は三角形AJGを回転させて出来る円錐から三角形EJFを回転させて出来る円錐を引いた物です。
同様に台形AEFHを回転させて出来る円錐台の体積は三角形IEFを回転させて出来る円錐から三角形IAHを回転させて出来る円錐を引いた物です。
そこでまず円錐台の体積を求める式を作っておきます。
下の図のように相似比がa：bの場合、円錐台の体積は以下のようになります。
ですから上の図に戻ってこの式のa、bに相当する数字を入れていけば求められます。
V(FGH)＝兀×{7×7×7－4×4×4-(4×4×4-1×1×1)}÷3=兀×216÷3=72兀
次に小の直角二等辺三角形LCMを求めます。
こちらは四角形BCMKから台形BLMKを引いた物です。
V(LCM)=兀×8×8×3-兀×(8×8×8－5×5×5)÷3=兀×(192-129)=63兀
よって
V=兀×8×8×4-兀×(72+63)=121兀
となります。
この問題のポイントは円錐台の体積の求め方になるでしょうか！
簡単にパップス・ギュルダンの定理を説明しておきます。
回転させる図形の面積をS 回転軸と図形の重心との距離をｒとすると
体積は以下の式で表せます。
V＝２兀ｒ×S
つまり重心が移動した距離と面積の積になるのです。
パップス・ギュルダンの定理で小の直角二等辺三角形LCMが回転したときの体積を求めてみます。
面積は3×3÷2=9/2
重心は(5+8+8)÷3=7
よって
V(LCM)=2兀×7×9/2=63兀となります。この定理を使うと計算が一気に楽になり、この問題でも一分以内の解答が可能です。ただし重心を求めるのが難しい図形には適しません。
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